Dari Labsky Untuk Indonesia, Matematika IPS Semester Dua.

FUNGSI

1.      Pengertian Fungsi

Definisi : Fungsi dari himpunan A ke himpunan B suatu relasi sedemikian hingga setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B.

       

               A=Df =     

                A=Df=D                                    B=Rf=R

Domain     = daerah asal (D)

Kodomain = daerah kawan (K)

Range        = daerah hasil (R)

      Notasi Fungsi

Suatu fungsi atau pemetaanumumnya dinotasikan denganhuruf kecil.

Misal, f adalah fungsi dari A ke Bditulis f: A → B

A disebut domain

B disebut kodomain

      Range atau Daerah Hasil Jika f memetakan x Î A ke y Î B dikatakan  y adalah  

         peta dari x ditulis f: x → y atau y = f(x).

Himpunan y Î B yang merupakan peta dari x Î A

disebut range atau daerah hasil

Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru.

Misalkan: f : A  ®  B dan g : B ®  C

 

                           f                             g

            A                           B                            C

                                h = g o f

Fungsi baru h = (g o f) : A ® C disebut fungsi komposisi dari f dan g.

Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x))

 

(gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika R_f ∩ D_g ≠ Ø

 

       Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a))

Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Jika f : A ® B ; g : B ® C ; h : C ® D, maka berlaku:

i.   (fog)(x) ≠ (g o f)(x)                         (tidak komutatif)
ii.  ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)         (sifat asosiatif)

iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)             (elemen identitas)

Fungsi Invers

v  Definisi

Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka invers dari fungsi f adalah f^-1: B ® A ditentukan oleh:                       f^-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.

Jika f : A ® B, maka f  mempunyai fungsi invers f^-1 : B ® A  jika dan hanya jika    f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.

Jika f : y = f(x) ® f ^-1 : x = f(y)    

 

  (f o f ^-1)(x) = (f^-1 o f)(x) = I(x)    (fungsi identitas)

v  Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers

      i.   f(x) = ax + b; a ≠ 0   ®  f ^-1(x) =; a ≠ 0

      ii.  f(x) = ; x ≠ - ®  f ^-1(x) = ; x ≠

      iii. f(x) = a^cx ; a > 0  ®  f ^-1(x) = ^alog x^1/c = ^alog x ; c ≠ 0

      iv. f(x) = ^a log cx ; a > 0; cx > 0  ®   f ^-1(x) = ; c ≠ 0

      v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0 ®  f ^-1(x)=

PENGERTIAN LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas

Limit fungsi:Suatu limit f(x) dikatakan mendekati A {f(x) → A} sebagai suatu limit.

Bila x mendekati a {x→a}Dinotasikan Lim  F(x) = A

                                                              x→a

Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi (supaya bentuk tak tentu dapat dihindari) adalah ….

nSubtitusi langsung.

nFaktorisasi.

nMengalikan dengan bilangan sekawan.

nMembagi dengan variabel pangkat tertinggi.  

SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI

Berapa teorema limit:

Bila  Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B

         x → a                  x →a

Maka

 1. Lim   [k.f(x)]    = k Lim f(x)

     x→a                       x→a

                              = k. A

 2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)

     x→a                      x→a          x→a

                               = A + B

3.  Lim [f(x) x g(x)]

    x→a

      = Lim f(x) x Lim g(x)

         x→a          x→a

     

      = A x B

                                   

4.  Lim        f(x)        Lim f(x)

     x→a      g(x)    = x→a      . =  A

                                 Lim g(x)      B   

                                 x→a

                      n                      n         n

5.  Lim  f(x).     =   Lim f(x)     =  A

     x→a                   x→a

                n                n                       n

6.  Lim     √ f(x)   =   √ Lim f(x)    =  √ A

     x→a                         x→a

LIMIT FUNGSI BENTUK TAK TENTU

Limit fungsi bentuk   0

                                  0

Jika f(x) = (x-a).h(x)

      g(x) = (x-a).k(x)

Maka:  Lim   f(x)    =  Lim   (x-a).h(x)   =   Lim   h(x)   =  h(a)

            x→a  g(x)        x→a  (x-a).k(x)        x→a  k(x)       k(a)

Limit Fungsi Bentuk   ~

                                    ~

Jika diketahui limit tak hingga (~)

Sebagai berikut:  Lim    axⁿ  +  bx^n-1 +  cx^n-2 + …+ d   =  R

                           x→~    px^m  +  qx^m-1  +  rx^m-2   + … +  s

Maka:  

1. R= 0  jika n<m

2. R= a  jika n=m

          p

3. R= ~ jika n>m

Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)

a.  Lim    √ ax +b - √  px +q    =  R

    x→~

 Maka:   1. R=  ~  jika  a>p

              2. R=  0   jika  a=p

              3. R= -~  jika  a<p  

b.  .  Lim    √ ax² + bx + c  -  √  px ² + qx + r   =  R

        x→~

        Maka:      1. R= ~ jika a>p

                        2. R =  b-q   jika a=p

                                   2√a

                        3. R= -~ jika a<p

Rumus limit fungsi trigonometri

1.  Lim      x    =  1                  diperoleh   lim   sin x  =  1

     x→0  sin x                                           x→0  x

2.  Lim    tan x  =  1                diperoleh   lim    x       =  1

     x→0     x                                            x→0  tan x

Akibatnya :

 

1. lim     sin ax   =  1

    x→0     ax

2. lim       ax       =  1

    x→0   sin ax

3. lim     tan ax   =  1

    x→0     ax

4. lim         ax   =  1

    x→0    tan ax

PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI

Definisi turunan : Fungsi f : x → y atau y = f (x) mempunyai turunan yang dinotasikan y’ = f’(x) atau   dy  =  df(x) dan di definisikan :

                                                dx        dx

y’  =  f’(x)  =  lim    f(x + h) – f(x)  atau   dy = lim    f (x +∆x) – f(x)

                       h→0          h                        dx    h→0            h

Notasi kedua ini disebut notasi Leibniz.

RUMUS-RUMUS TURUNAN

1. Turunan f(x) = axⁿ adalah f’(x) = anx^n-1 atau = anx^n-1

2. Untuk u dan v suatu fungsi,c bilangan Real dan n bilangan Rasional berlaku

a.       y = ± v → y’ = v’ ± u’

b.      y = c.u → y’ = c.u’

c.       y = u.v → y’ = u’ v + u.v’

d.     

e.       y  = uⁿ → y’ = n. u^n-1.u’

RUMUS RUMUS TURUNAN TRIGONOMETRI

1.      a. f(x) = sin x → f’ (x) = cos x

b. f(x) = cos x → f’ (x) = - sin x

2.      a. f(x) = sin (ax + b) → f’(x) = a cos (ax + b )

      b. f(x) = cos (ax + b) → f’(x) = - a sin (ax + b )

      dan jika u suatu fungsi maka:

3.      a. f(x) = sin u → f’(x) = u’ cos u

      b. f(x) = cos u → f’(x) = - u’ sin u

GARIS SINGGUNG PADA KURVA

1. Gradien garis singgung

			Perhatikan gambar di samping Gradien garis AB adalah m =         =         =
	y=f(x)

                                                                                 

Apabila garis ABdiputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A (h→0) maka tali busur ABmenjadi garis singgung (g) pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a))dengan gradient

           

Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a)) atau A (x₁,y₁) adalah

            y – y₁ = m (x – x₁)

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

 

0

1.  Fungsi f(x) disebut fungsi naik pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1

     dan x₂ dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :

    

             x₂  >  x₁     f(x₂) > f(x₁)            (gb. 1)

                          

2.      Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2  dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :

             x₂  >  x₁     f(x₂) < f(x₁)            (gb. 2)

3.      Fungsi f disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f’ (a) > 0

4.      Fungsi f disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’ (a) < 0

NILAI STASIONER

			Perhatikan grafik fungsi y = f(x) disamping Pada titik A,B,C dan D dengan absis berturut-turut x = a, x = b, x = c dan x = d menyebabkan f’(x) = 0 maka f(a), f(b), f(c) dan f(d) merupakan nilai – nilai stasioner.

 

Jenis – jenis nilai stasioner

+

+

1. Nilai stasioner di titik A.

0

    Pada :  x < a diperoleh f’(x) > a

a

                x = a diperoleh f’(x) = a

                x > a diperoleh f’(x) < a                     

    Fungsi yang mempunyai sifat demikian dikatakan fungsi f(x) mempunyai nilai

    stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik maksimum.

2. Nilai stasioner di titik B dan D.

-

-

0

a.  Pada  :  x < b diperoleh f’(x) < 0

b

                  x = b diperoleh f’(x) = 0

                  x > b diperoleh f’(x) < 0

 

Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada x = b dan titik (b,f(b)) disebut titik belok.

   b. Pada : x < d diperoleh f’ (x) > 0

+

+

0

                  x = d diperoleh f’ (x) = d

                  x > d diperoleh f’ (x) > d

       fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik (d,f(d))

       disebut titik belok

Pada titik B atau D sering hanya disingkat nilai stasioner belok.

3. Nilai stasioner di titik E

0

+

-

    Pada : x < e diperoleh f’(x) < 0

               x = e diperoleh f’(x) = 0

e

               x > e diperoleh f’(x) > 0

  Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(e) pada x = e dan titik (e,f(e))

  disebut titik balik minimum.

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI                           

Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) ada beberapa langkah sebagai berikut :

1. Tentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu x ( jika mudah ditentukan ), yaitu diperoleh dari y = 0.
2. Tentukan titik potong dengan sumbu y, yaitu diperoleh dari x = 0.
3. tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya.
4. tentukan nilai-nilai y untuk nilai x besar positif dan untuk x yang besar negative.