STATISTIKA
1. Memahami Statistik, populasi dan sample
Statistika adalah ilmu pengetahuan tentang cara-cara pengumpulan data, pengumpulan data, penyusunan data, penyajian data serta penarikan kesimpulan.
Statistik adalah kumpulan fakta yang umumnya berbentuk bilangan / agka dan disajikan dalam bentuk table atau diagram sehingga dapat menggambarkan suatu masalah.
Populasi adalah keseluruhan objek yang akan diteliti.
Sampel adalah sebagian dari populasi yang benar-benar diteliti
2. Memahami statistic lima serangkai
Statistik peringkat adalah penyusunan data dari yang terbesar sampai yang terkecil (diurutkan)
Statistik ekstrim :
· Statstik minimum adalah nilai datum terkecil dilambangkan x1
· Satistik maksimum adalah nilai datum terbesar dilambangkan xn
Kuartil
· Kuartil bawah/pertama (Q1)
· Median / kuartil kedua (Q2)
· Kuartil ketiga/atas (Q3)
Kelima data statistic X1, Q1, Q2, Q3, Xn disebut statistic lima serangkai. Bagannya sbb:
Q2 =…
| Q1 =… | Q3 =… |
| X1 =… | X2 =… |
C. Memahami jangkauan data, Jangkauan antar kuartil
Jangkauan/ Range adalah selisih mutlak kedua statistic ekstrim/ data terbesar dikurang data terkecil
J = Xn – X1 = Xmax – Xmin
Jangkauan antar kuartil / Hamparan adalah selisih Q3 dan Q1
H = Q3 –Q1
Jangkauan semi interkuartil ( Simpangan kuartil)
Qd = ½ (Q3- Q1)
Rataan Quartil = ½ (Q3 – Q1)
Rataan tiga kuartil = ¼ ( Q1 + 2Q2 + Q3)
Penyajian data dalam bentuk diagram
A. Data Ukuran (Kontinu) dan Data Cacahan(Deskrit)
Data adalah keterangan atau fakta mengenai sesuatu persoalan
Data kualitatif adalah data kategori missal; rusak, baik, senang, puas.
Data kuantitatif adalah data berbentuk bilangan missal: dat berat badan, banyak siswa dll.
Ada 2 jenis data kuantitatif:
1. Data ukuran ( kontinu) yaitu data yang diperoleh dengan cara mengukur. Misal: tinggi menara 30 m, berat badan 50 kg dll.
2. Data cacahan ( deskrit) yaitu data yang diperoleh dengan cara menghitung. Misal: jumlah siswa kls XI IPA 1 ada 30 anak
SMA 13 mempunyai 20 ruang kelas.
B. Diagram Batang, Diagram Lingkaran dan Diagram Garis
1. Diagram Batang adalah penyajian data statistic yang menggunakan persegi panjang atau batang dengan lebar batang sama dengan jarak antara batang yang satu dengan yang lainnya, serta dilengkapi dengan skala sehingga ukuran datanya dapat dilihat dengan jelas.
2. Diagram Lingkaran adalah penyajian data statistic dengan menggunakan gambar yang berbentuk daerah lingkaran.
3. Diagram Garis adalah penyajian data statistic dengan menggunakan gambar berbentuk garis lurus.
4. Diagram Batang Daun yaitu teknik penyajian data dalam bentuk batang dan daun yang bertujuan untuk menampilkan data yang akurat darai suatu opservasi.
5. Diagram Kotak Garis (DKG) adalah diagram yang berupa kotak dan garis dengan ketentuan sbb:
· Data statistic yang dipakai untuk menggambar DKG adalah statistic lima serangkai
· Diagram tersebut berbentuk seperti kotak seperti persegi panjang dan mempunyai ekor ke kiri dan ke kanan yang berupa garis.
· DKG meliputi jangkauan antar kuartil atau hamparan dan data yang berada di dalam kotak adalah median dan kuartil bawah (Q1) serta kuartil atas (Q3).
· Persegi panjang yang mempunyai ekor memeanjang kekiri dan kekanan mencakup semua data ( kecuali pencilan)
· Pencilan adalah data yang letaknya diluar pagar dalam dan pagar luar biasanya diberi tanda * .
Q1 Q2 Q3
| + |
X1 Xn
Data Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif dan Frekuensi Kumulatif
A. Daftar Distribusi Frekuensi Tunggal
Nilai ulangan matematika dari 40 siswa :
8 5 7 4 4 5 7 7 6 4 7 6 6 5 4 8 8 7 6 5
5 6 7 8 4 5 7 6 7 6 7 7 6 6 8 6 6 4 4 5
Data di atas dapat disajikan dalam bentuk distribusi frekuensi data tunggal:
| Nilai | Turus | Frekuensi |
| 4 5 6 7 8 | | 7 7 11 10 5 |
| Jumlah | | ∑f = 40 |
B. Daftar Distribusi Frekuensi Data Kelompok
Nilai ulangan matematika dari 100 siswa:
| Nilai | Frekuensi |
| 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 | 3 7 12 17 25 18 13 5 |
| Jumlah | ∑f = 100 |
Beberapa istilah yang adarekuensi data kelompok:
1. Kelas interval
Kelompok-kelompok data seperti 30 – 34, 35 – 39, …, 70 – 74 disebut kelas interval.
2. Batas kelas
Bilangan 30, 35, …70 disebut batas bawah kelas, sedangkan 34, 39, … ,74 batas atas kelas.
3. Tepi kelas
Tepi bawah = batas bawah - 0,5 satuan terkecil.
Tepi atas = batas atas – 0,5 satuan terkecil.
4. Panjang kelas / lebar kelas
Panjang kelas = tepi atas – tepi bawah kelas
5. Titik tengah kelas
Titik tengah kelas = ½ ( batas bawah + batas atas )
Langkah-langkah untuk membuat daftar distribusi frekuensi data kelompok:
1. Menentukan jangkauan
J = X max – X min = Xn – X1
2. Menentukan banyaknya kelas interval
Biasanya diambil paling sedikit 5 kelas dan paling banyak 15 kelas.
Atau menggunakan aturan Strungers:
k = 1+ 3,3 log n
k = banyaknya kelas
n = banyaknya data
3. Menentukan panjang kelas interval
p = jangkauan .
banyaknya kelas
4. Menentukan batas kelas dimana semua nilai tercakup di dalamnya.
5. Menentukan nilai frekuensi tiap kelas dengan turus.
C. Distribusi Frekuensi Relatif
Frekuensi relatif adalah banyaknya data (frekuensi ) yang dihitung dengan prosen.
Frekuensi Relatif = fi . x 100%
∑fi
Contoh :
| Nilai | Frekuensi | Frekuensi Relatif (%) |
| 36 – 44 45 – 53 54 – 62 63 – 71 72 – 80 81 – 89 90 – 98 | 2 5 6 12 8 4 3 | 5 12,5 15 30 20 10 7,5 |
| Jumlah | | 100 |
Frekuensi relative untuk kelas pertama = 2 x 100%
40
D. Distribusi frekuensi kumulatif
Ada 2 macam daftar distribusi frekuensi kumulatif yaitu:
1. Daftar distribusi frekuensi kumulatif kurang dari.
2. Daftar distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.
E. Histogram, Polygon Frekuensi dan Ogive
· Histogram merupakan diagram batang dimana batang-batangnya saling dihimpitkan.Apabila tengah tiap sisi atas batang dihubungkan satu sama lain diperoleh polygon frekuensi.
· Ogive positive merupakan grafik yang disusun berdasarkan table frekuensi kumulatif kurang dari.
· Ogive negative merupakan grafik yang disusun berdasarkan table frekuensi kumulatif lebih dari.
A. Memahami Rataan Hitung ( Mean)
3.Rataan Hitung dari data tunggal
n
x = ∑ xi
i=1
Contoh: Tentukan rataan hitung dari data:
9 8 4 12 6 9 5 3
Jawab: x = ∑ xi
= 1 ( 9+8+4+12+6+9+5+3 )
8
= 7
4.Rataan hitung dari data berkelompok
x =
keterangan : xi = titik tengah interval kelas ke i
fi = frekuensi interval kelas ke i
Contoh :
Diketahui distribusi frekuensi :
| Nilai | Frekuensi |
| 41 -50 51 -60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 | 2 5 14 10 6 2 |
Tentukan rataan hitung dari table diatas.
Jawab:
| Nilai | Frekuensi ( fi ) | Titik tengah ( xi ) | Fi .xi |
| 41 -50 51 -60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 | 2 5 14 10 6 2 | 45,5 … … … … … | 91 … … … … … |
| | … | | … |
x = = …
B. Menentukan rataan hitung dengan rataan sementara
1. Dengan simpangan rata-rata
Langkah-langkah :
a. pilih rattan sementara (xs) dapat diambil dari salah satu titik tengah
b. Tentukan simpangan (di) dari tiap-tiap nilai (xi) terhadap rataan sementara yang dipilih, dengan rumus di = xi - xs
c. Rataan sesungguhnya ( yang dicari ) dapat dihitung menggunakan rumus :
x = xs + fi . di
∑ fi
Contoh :
Lengkapilah daftar distribusi frekuensi di bawah ini. Kemudian hitunglah rataan hitungnya dengan mengambil rataan sementara xs = 162
| T badan (cm) | f | xi | di = xi - xs | fi . di |
| 152 – 154 155 – 157 158 – 160 161 – 163 164 – 166 167 – 169 170 – 172 173 - 175 | 6 13 12 22 10 11 4 2 | 153 … … 162 … … … … | -9 … … 0 … … … … | … … … 0 … … … … |
| | ∑f = 80 | | | ∑ = … |
X = xs + fi.di .
∑ fi
= 162 + …
= …
2. Dengan pengkodean (ui)
Langkah-langkah :
a. pilih rattan sementara (xs) dapat diambil dari salah satu titik tengah
b. Tentukan kode (ui) dari tiap-tiap nilai (xi) terhadap rataan sementara yang dipilih, dengan rumus ui = xi - xs
p
c. Rataan sesungguhnya ( yang dicari ) dapat dihitung menggunakan rumus :
x = xs + fi . ui . p
∑ fi
Keterangan : ui = 0, ± 1, ± 2, …
P = panjang interval kelas
Contoh :
Dengan menggunakan table distribusi frekuensi pada contoh di atas, hitunglah rataan hitung dengan cara pengkodean.
| T badan (cm) | f | xi | ui = di p | fi . ui |
| 152 – 154 155 – 157 158 – 160 161 – 163 164 – 166 167 – 169 170 – 172 173 - 175 | 6 13 12 22 10 11 4 2 | 153 … … 162 … … … … | -3… … … 0 … … … | … … … 0 … … … … |
| | ∑f = 80 | | | ∑ = … |
X = xs + fi.ui . p
∑ fi
= 162 + …
= …
C. Menentukan modus median dan kuartil.
1. Modus
Modus adalah nilai datum yang paling banyak munculatau nilai datum yang mempunyai frekuensi terbesar.
Contoh :
Diketahui nilai ulangan matematika 10 siswa sbb:
5 6 6 6 7 8 8 8 9 10
Jawab:
Modus (Mo) = 6 dan 8
Modus dat kelompok ditentukan dengan rumus
Mo = L + d1 . p
d1 + d2
Keterangan :
Mo = Modus
L = Tb = tepi bawah kelas modus
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya.
P = panjang interval kelas
Contoh :
Tentukan modus dari data daftar distribusi frekuensi di bawah ini.
| Nilai | Frekuensi |
| 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 | 6 9 12 15 20 10 8 |
| | ∑ f = 80 |
Jawab :
Kelas Modus 70 -74
L = Tb = 69,5
di = 20 -15 = 5
d2 = 20 – 10 = 10
p = 5
Mo = 69,5 + 5 . 5
5+15
= 69,5 + 1,25
= 70,75
2. Median, kuartil dan desil
Median adalah nilai tengah setelah data diurutkan.
Quartil ada 3 yaitu : Q1 (kartil bawah), 2 ( Median ) , Q3 ( kuartil atas)
Dapat diperoleh dengan rumus :
Qi = Li + i / 4 n - ( ∑ f )i . p
Fi
Ket : Li = tepi bawah yang memuat kuartil bawah Qi
(∑f ) = jumlah frekuensi sebelumquartil bawah Qi
fi = frekuensi kelas yang memuat kuarti bawah Qi
i = 1,2,3
Contoh :
Dari table distribusi frekuensi di bawah ini tentukan Q1, Median atau Q2 dan Q3.
| Nilai | frekuensi | F kumulatif |
| 15 – 19 20 - 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 | 3 6 10 15 8 5 3 | 3 9 19 34 42 47 50 |
| | ∑ f = 50 | |
Jawab :
Q1 terletak pada data ke ¼ . 50 = 12,5 yaitu pada kelas 25 – 29.
Q1 = 24,5 + (12,5 – 9)/10 . 5
= 24,5 + 1,75 = 26,75
Q2 terdapat pada data ke ½ . 50 = 25 yaitu pada kelas 30 -34.
Q2 = 29,5 + (15 – 19)/15 . 5
= 29,5 + …
=…
Q3 = … + …
= …
Desil adalah suatu nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak ( setelah data diurutkan). Cara menentukan Desil:
a. Untuk data tunggal, dapat ditentukan dengan :
Di = i(n + 1)/10
b. Untuk data kelompok, dapat ditentukan dengan :
Di = Li + (i/10 n – fk)/fi . p
Li = tepi bawah kelas
Fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas Di
Fi = frekuensi kelas Di
Contoh :
Tentukan D2 dan D7 dari data berikut 3 4 10 5 7 6 5 6 7 4 7 7 10 6
Jawab :
Data diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar :
3 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 10
D2 teletak pada urutan nilai ke 2(12+1)/10 = 2,6
D2 = x2 + 0,6 ( x3-x2 )
= 4 + 0,6 (4 -4)
= 4 + 0 = 4
D7 terletak pada urutan nilai ke 7(12+1)/10 =9,1
D7 = x9 + 0,1 (x10 – x9)
= 7 + 0,1 (7-7)
= 7 + 0 = 7
Contoh untik data kelompok.
Tentukan Desil ke 7 dari data dibawah ini
| Nilai | Frekuensi |
| 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 | 6 9 12 15 20 10 8 |
| | ∑ f = 80 |
Jawab:
| Nilai | Frekuensi | F kumulatif |
| 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 | 6 9 12 15 20 10 8 | 6 15 27 42 62 72 80 |
D7 terletak pada data ke 7/10 x 80 = 56.
Kelas D7 pada interval 70 – 74
Fk = 42
F7 = 20
D7 = 69,5 + 56 – 42 . 5
20
= 69,5 + 3,5
= 73
D. Menentukan Simpangan Rata-rata, Ragam, Simpangan Baku.
1. Simpangan Rata-rata ( Deviasi Rata-rata )
a. Untuk data tunggal
SR = ∑| xi – x |
n
b. Untuk data kelompok
SR = ∑Fi | xi – x |
∑fi
Ket : xi = ukuran data ke i
x = rataan hitung
|…| = nilai mutlak
2. Ragam / Varian
1. Ragam data tunggal
S2 = ∑( xi – x )2
n
Tidak ada komentar:
Posting Komentar