Labsky's Finest History: Rumus Matematika Kelas XII IPS Semester 2

MENERAPKAN KONSEP BARISAN DAN DERET DALAM

PEMECAHAN MASALAH

Notasi Sigma

Secara umum, pengertian notasi sigma adalah sebagai berikut.

Dibaca “jumlah a_kuntuk k sama dengan 1 sampai n atau jumlah a_kuntuk k =1 sampai dengan k = n”

Berikut ini sifat – sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan.

a_k = a₁ + a₂+ a₃+ … + a_n

(a_k+ b_k) =

a_k+

b_k

ca_k= c

a_k

a_k=

a_k– p

c = (n – m + 1)c

a_k+

a_k=

a_k

a_k= 0

(a_k+ b_k)² =

a_k² + 2

a_kb_k+

b_k²

1. Barisan Aritmetika

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U_1, U_2, U_3, U_4,…, U_n_-1, U_n.

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan aritmetika, jika selisih untuk setiap suku ke-n (U_n) dengan suku sebelumnya (U_n_-1) adalah tetap (konstan). Selisih tersebut dinamakan beda (b).

Misalkan suku pertama = a, beda b, maka

U_1,U_2,U_3,...,U_n

a, a + b, a + 2b, …, a+(n – 1)b

Dengan demikian, rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah :

Suku Tengah ( Ut)

Jika bilangan berurutan a, b, c membemtuk barisan aritmatika, maka

terdapat hubungan.

2b = a + c atau

2 ( suku tengah ) = jumlah suku tepi

Contoh :

-4, 2, 8, 14, 20, 26, 32. merupakan barisan aritmatika karena

2.14 = 8 + 20 = 2 + 26 = -4 + 32

b. Jika empat bilangan berurutan a, b, c, d, membemtuk barisan aritmatika,

maka terdapat hubungan.

b + c = a + d atau

jumlah suku tengah = jumlah suku tepi

Contoh :

3, 7, 11, 15, 19, 23 merupakan barisan aritmatika karena

11 + 15 = 7 + 19 = 3 + 23

Contoh :

Deret Aritmatika ( Deret Hitung )

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika. Jika U_1,U₂, U₃, …,U_nadalah barisan aitmatika, maka U₁+U₂ + U₃ + …,U_nmerupaka deret aritmatika. Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan S_n.

S_n=U₁+U₂ + U₃ + …,U_n

Rumus jumlah n suku pertama adalah :

Menerapkan Konsep Barisan dan Deret Geometri

Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U_1, U_2, U_3, U_4,…, U_n_-1, U_n

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri, jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke – n ( U_n ) dengan suku sebelumnya ( U_n-1) adalah tetap. Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ), ditulis :

R =

Dimana r ≠ 0 atau r ≠ 1

Misalkan suku pertama sama dengan a, rasio sama dengan r, maka :

U_1,U_2,U_3,...,U_n

a, ar, ar², … ,ar^{n – 1}

Dengan demikian, rumus suku ke – n barisan geometri adalah :

Deret Geometri

Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku – suku barisan geometri.

Jika U_1, U_2, U_3, U_4,…, U_n_-1, U_nadalah barisan geometri, maka U₁+U₂ + U₃ + …,U_n

merupaka deret geometri. Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (S_n)

S_n=U₁+U₂ + …, U_n-1 + U_n

Rumus jumlah n suku pertama adalah :

4. Deret Geometri Takhingga

Jika suatu deret geometri, S_n=U₁+U₂ + …, U_n-1 + U_n dengan n mendekati takhingga, maka deret geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

S_∞=U₁+U₂ + …, U_n-1 + …

Jika

Sehingga,runus jumlah deret geometri takhingga untuk

MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINIER

1. Pengertian Program Linier

Program linier adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan menggunakan konsep pertidaksamaan linier.

a. Pertidaksamaan linier dengan ditentukan daerah penyelesaian nya.

Sebelum kita membahas lebih lanjut kita harus mengetahui terlebih dahulu tentang perstidaksamaan linier dan juga cara menentukan daerah penyelsaian ( himpunan penylesaian).

Petidasamaan linier adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, >,

, dan

Contoh :

1.Tentukan himpunan penyelesaian dari

a. x < 3 d. y > 2

b.x

2 e. y

-1

c. y > - 3

Jawab :

x = 3

1.a. x < 3

. Sistem pertidaksamaan linier dengan dua variable ditentukan daerah

penyelesaian

Contoh 1 :

Tunjukan himpunan penyelesaian yang memenuhi system pertidaksamaan

2x + y ≤ 6 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0, untuk x,y

Jawab :

Langkah – langkah :

Lukislah grafik 2x + y ≤ 6 dengan cara :

i. Tentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dengan table

Jika x = 0 maka y = 6

Jika y = 0 maka x = 3

Tabel

x	0	3
y	6	0

ii. Buatlah garis x = 0 , yang merupakan sumbu y , derah yang memenuhi adalah

daerah di sebelah kanan sumbu y.

iii.Buatlah garis y = 0 , yang merupakan sumbu x , derah yang memenuhi adalah

daerah di atas sumbu x.

iv.Ganbar grafik dalam koordinatkartesius sehingga terlihat himpunan

penylesaiannya :

v. Daerah grafik yang diarsir. Uji titik ( 0,0 ) maka 2.0 + 0 ≤ 6 maka titik ( 0,0 )

memenuhi.

- - - + + +

Contoh 2 :

Menetukan Model Matematika Dari Soal Cerita ( Kalimat Verbal )

Model matematika adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan cara mengubah bentuk kalimat verbal menjadi suatu model yang selanjutnya diselesaikan dengan pendekatan matematika.

Contoh :

Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan yang tersedia yaitu 5,5 kg A dan 2 kg bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan A dan 75 gram bahan B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 150 gram bahan jenis A dan 50 gram bahan jenis B.

Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku II dengan harga Rp 350,00 maka hitunglah berapa buah paku I dan paku II yang harus dibuat agar penghasilan pengusaha maksimum?

Jawab :

Mengubah bentuk verbal menjadi model matematika dari soal diatas

Misalkan : Paku jenis I = x dan

Paku jenis II = y

Tabel

Barang	Bahan A	Bahan B
Paku jenis I	200 gram	75 gram
Paku jenis II	150 gram	50 gram
Jumlah	5.500 gram	2.000 gram

Berdasarkan table sebelumnya didapat persamaan sebagai berikut :

200x + 150y ≤ 5.500

75x + 50y ≤ 2.000

x ≥ 0

y ≥ 0

Sedangkan fungsi objektifnya adalah z = 500x + 350y

Kita sederhanakan dulu persamaan diatas

200x + 150y ≤ 5.500

4x + 3y ≤ 110

75x + 50y ≤ 2.000

3x + 2y ≤ 80

x ≥ 0

y ≥ 0

Mencari dearah penyelesaian untuk system pertidaksamaan di atas

4x + 3y ≤ 110

x	0
y		0

3x + 2y ≤ 80

x	0
y	40	0

Titik potong garis 4x + 3y = 110 dan 3x + 2y = 80 adalah

4x + 3y = 110 x2 8x + 6y = 220

3x + 2y = 80 x3 9x + 6y = 240

- x = -20

x = 20

untuk x = 20

3x + 2y = 80

3.20 + 2y = 80

2y = 80 – 60

y =

= 10 maka titik potong (20,10)

Gambar grafik fungsi penyelesaiannya

3x + 2y = 80

Daerah himpunan penyelesaian adalah OABC, sedangkan titik –titik

optimumnya adalah O(0,0), A(80/3,0), B(20,10), dan C(0,110/3)

Nilai fungsi obyeknya adalah :

Untuk O(0,0)

z = 500.0 + 350.0 = 0

UntukA(80/3,0)

z = 500.80/3 + 350.0 = 13.000

UntukB(20,10)

z = 500.20 + 350.10 = 13.500

UntukC(0,110/30

z = 500.0 + 350.110/3 = 12.000

Jadi agar mendapat penghasilan maksimum yaitu Rp 13.500,00 maka

pengusaha harus membuat 20 buah paku I dan 10 buah paku II.

C. Menentukan Nilai Optimum dari Sistem Pertidaksamaan Linier.

D. Garis Selidik dengan Prsamaan ax + by = k

Untuk menentukan nilai optimum,selain dengan mencari titik – titik yang koordinat – koordinatnya memenuhi syarat yang diberikan, dapat juga dilakukan dengan menggunakan garis – garis sejajar itu mempunyai persamaan ax + by = k ,dengan k

R dan ax + by merupakan bentuk obyektif. Kerena garis – garis yang sejajar itu di gunakan untuk menyelidiki nilai optimum,maka garis – garis itu disebut garis selidik.Agar himpunan garis – garis sejajar ax + by = k mudah dilukis, maka mulailah dengan melukis garis yang melalui tttik pangkal , yaitu jika k = 0. Kemudian, garis – garis ax + by = k untuk k = 1,2,3,4, ……dilukis dengan penggaris.

Contoh :

Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi :

x + y ≤ 5 ; x ≥ 0 ;y ≥ 0

Jawab ;

3x +2y = k₂maka 3.0 + 2.5 = 10

3x +2y = k₂maka 3.5 + 2.0 = 15

Jadi nilai maksimum adalah 15

RUMUS INTEGRAL

Mencari nilai integral

Substitusi

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \frac{ln x}{x}\,dx\,$

$t = \ln x, dt = \frac{dx}{x}$

$\int \frac{ln x}{x}\,dx\, = \int t\,dt$

$= \frac {1}{2} t^2 + C$

$= \frac {1}{2} ln^2x + C$

Integrasi parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

$\int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \ln x \,dx\,$

$f'(x) = 1, f(x) = x, g(x) = ln x, g'(x) = \frac{1}{x}\,$

Gunakan rumus di atas

$\int \ln x\ dx = x ln x - \int x\frac{1}{x}\,dx\,$

$= x ln x - \int 1\,dx\,$

$= x ln x - x + C\,$

Substitusi trigonometri

Bentuk	Gunakan
$\sqrt{a^2-b^2x^2}\,$	$x = \frac{a}{b}\sin \alpha\,$
$\sqrt{a^2+b^2x^2}\,$	$\!\, x = \frac{a}{b}\tan \alpha\,$
$\sqrt{b^2x^2-a^2}\,$	$\, x = \frac{a}{b}\sec \alpha\,$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$x = 2 \tan A, dx = 2 \sec^2 A\,dA\,$

$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{(2 tan A)^2\sqrt{4 + (2 tan A)^2}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 + 4 tan^2A}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4(1+tan^2A)}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 sec^2A}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A.2sec A}\,$

$= \int \frac {sec A\,dA}{4 tan^2A}\,$

$= \frac {1}{4}\int \frac {secA\,dA}{tan^2A}\,$

$= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

Cari nilai dari: $\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$ dengan menggunakan substitusi

$t = sin A, dt = cos A\,dA\,$

$\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

$= \int \frac{dt}{t^2}\,$

$= \int t^{-2}\,dt\,$

$= -t^{-1} + C= -\frac{1}{sin A} + C\,$

Masukkan nilai tersebut:

$= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

$= \frac {1}{4}.-\frac{1}{sin A} + C\,$

$= -\frac {1}{4 sin A} + C\,$

Nilai sin A adalah $\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$

$= -\frac {1}{4 sin A} + C\,$

$= -\frac {\sqrt{x^2+4}}{4x} + C\,$

Integrasi pecahan parsial

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int\frac{dx}{x^2-4}\,$

$\frac{1}{x^2-4} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2}\,$

$= \frac {A(x-2) + B(x+2)}{x^2-4}\,$

$= \frac{Ax-2A+Bx+2B}{x^2-4}\,$

$=\frac{(A+B)x-2(A-B)}{x^2-4}\,$

Akan diperoleh dua persamaan yaitu $A+B = 0\,$ dan $A-B = -\frac{1}{2}$

Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil $A = -\frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}\,$

$\int\frac{dx}{x^2-4}\,$

$= \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x-2} - \frac {1}{x+2})\,dx\,$

$= \frac{1}{4} (ln|x-2| - ln|x+2|) + C\,$

$= \frac{1}{4} ln|\frac{x-2}{x+2}| + C\,$

Rumus integrasi dasar

Umum

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\,$ (n ≠ -1)

$\int\frac{d}{dx}[f(x)]\,dx = f(x) + C\,$

$\int(u+v)\,dx = \int u \,dx + \int v \,dx\,$

$\int au\,dx = a \int u\, dx\,$ (a adalah konstanta)

$\int \frac{dx}{x} = ln |x| + C\,$

$\int a^x \,dx = \frac{a^x}{ln a} + C\,$ (a > 0, a ≠ 1)

$\int \frac{dx}{x} = ln |x| + C$

Bilangan natural

$\int e^u du= e^u + C\,$

Logaritma

$\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C$

Trigonometri

$\int\sin x\,dx = -\cos x + C\,$

$\int\cos x\,dx = \sin x + C\,$

$\int\tan x\,dx = \ln |\sec x| + C\,$

$\int\cot x\,dx = \ln |\sin x| + C\,$

$\int\sec x\,dx = \ln |\sec x + \tan x| + C\,$

$\int\csc x\,dx = \ln |\csc x - \cot x| + C\,$

$\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C\,$

$\int\csc^2 x\,dx = - \cot x + C\,$

$\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C\,$

$\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C\,$

Labsky's Finest History

Minggu, 04 Desember 2011

Rumus Matematika Kelas XII IPS Semester 2

RUMUS INTEGRAL

Mencari nilai integral

Substitusi

Integrasi parsial

Substitusi trigonometri

Integrasi pecahan parsial

Rumus integrasi dasar

Umum

Bilangan natural

Logaritma

Trigonometri

Tidak ada komentar:

Posting Komentar