FUNGSI
1. Pengertian Fungsi
Definisi : Fungsi dari himpunan A ke himpunan B suatu relasi sedemikian hingga setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B.
![]() |
A=Df =
A=Df=D B=Rf=R
Domain = daerah asal (D)
Kodomain = daerah kawan (K)
Range = daerah hasil (R)

Suatu fungsi atau pemetaanumumnya dinotasikan denganhuruf kecil.
Misal, f adalah fungsi dari A ke Bditulis f: A → B
A disebut domain
B disebut kodomain

peta dari x ditulis f: x → y atau y = f(x).
Himpunan y Î B yang merupakan peta dari x Î A
disebut range atau daerah hasil
Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru.
Misalkan: f : A ® B dan g : B ® C
![]() |
f g
A B C
h = g o f
Fungsi baru h = (g o f) : A ® C disebut fungsi komposisi dari f dan g.
Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x))
![]() |
(gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika Rf ∩ Dg ≠ Ø
![]() |
Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a))
Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Jika f : A ® B ; g : B ® C ; h : C ® D, maka berlaku:
i. (fog)(x) ≠ (g o f)(x) (tidak komutatif)
ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (sifat asosiatif)
ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (sifat asosiatif)
iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas)
Fungsi Invers
v Definisi
Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka invers dari fungsi f adalah f-1: B ® A ditentukan oleh: f-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.
Jika f : A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 : B ® A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.
Jika f : y = f(x) ® f -1 : x = f(y)

(f o f -1)(x) = (f-1 o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)
v Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers

i. f(x) = ax + b; a ≠ 0 ® f -1(x) =
; a ≠ 0

ii. f(x) =
; x ≠ -
® f -1(x) =
; x ≠




iii. f(x) = acx ; a > 0 ® f -1(x) = alog x1/c =
alog x ; c ≠ 0

iv. f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0 ® f -1(x) =
; c ≠ 0

v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0 ® f -1(x)=

PENGERTIAN LIMIT FUNGSI
LIMIT FUNGSI: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas
Limit fungsi:Suatu limit f(x) dikatakan mendekati A {f(x) → A} sebagai suatu limit.
Bila x mendekati a {x→a}Dinotasikan Lim F(x) = A
x→a
Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi (supaya bentuk tak tentu dapat dihindari) adalah ….
nSubtitusi langsung.
nFaktorisasi.
nMengalikan dengan bilangan sekawan.
nMembagi dengan variabel pangkat tertinggi.
SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI
Berapa teorema limit:
Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B
x → a x →a
Maka
1. Lim [k.f(x)] = k Lim f(x)
x→a x→a
= k. A
2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
x→a x→a x→a
= A + B
3. Lim [f(x) x g(x)]
x→a
= Lim f(x) x Lim g(x)
x→a x→a
= A x B

x→a g(x) = x→a . = A
Lim g(x) B
x→a


5. Lim f(x). = Lim f(x) = A
x→a x→a



6. Lim √ f(x) = √ Lim f(x) = √ A
x→a x→a
LIMIT FUNGSI BENTUK TAK TENTU
Limit fungsi bentuk 0
0
Jika f(x) = (x-a).h(x)
g(x) = (x-a).k(x)
Maka: Lim f(x) = Lim (x-a).h(x) = Lim h(x) = h(a)
x→a g(x) x→a (x-a).k(x) x→a k(x) k(a)
Limit Fungsi Bentuk ~
~
Jika diketahui limit tak hingga (~)
Sebagai berikut: Lim axn + bxn-1 + cxn-2 + …+ d = R
x→~ pxm + qxm-1 + rxm-2 + … + s
Maka:
1. R= 0 jika n<m
2. R= a jika n=m
p
3. R= ~ jika n>m
Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)



x→~
Maka: 1. R= ~ jika a>p
2. R= 0 jika a=p
3. R= -~ jika a<p
![]() |
b. . Lim √ ax2 + bx + c - √ px 2 + qx + r = R
x→~
Maka: 1. R= ~ jika a>p
2. R = b-q jika a=p
2√a
3. R= -~ jika a<p
Rumus limit fungsi trigonometri
1. Lim x = 1 diperoleh lim sin x = 1
x→0 sin x x→0 x
2. Lim tan x = 1 diperoleh lim x = 1
x→0 x x→0 tan x
Akibatnya :
1. lim sin ax = 1
x→0 ax
2. lim ax = 1
x→0 sin ax
3. lim tan ax = 1
x→0 ax
4. lim ax = 1
x→0 tan ax
PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI
Definisi turunan : Fungsi f : x → y atau y = f (x) mempunyai turunan yang dinotasikan y’ = f’(x) atau dy = df(x) dan di definisikan :
dx dx
y’ = f’(x) = lim f(x + h) – f(x) atau dy = lim f (x +∆x) – f(x)
h→0 h dx h→0 h
Notasi kedua ini disebut notasi Leibniz.
RUMUS-RUMUS TURUNAN
1. Turunan f(x) = axn adalah f’(x) = anxn-1 atau
= anxn-1

2. Untuk u dan v suatu fungsi,c bilangan Real dan n bilangan Rasional berlaku
a. y = ± v → y’ = v’ ± u’
b. y = c.u → y’ = c.u’
c. y = u.v → y’ = u’ v + u.v’
d. 

e. y = un → y’ = n. un-1.u’
RUMUS RUMUS TURUNAN TRIGONOMETRI
1. a. f(x) = sin x → f’ (x) = cos x
b. f(x) = cos x → f’ (x) = - sin x
2. a. f(x) = sin (ax + b) → f’(x) = a cos (ax + b )
b. f(x) = cos (ax + b) → f’(x) = - a sin (ax + b )
dan jika u suatu fungsi maka:
3. a. f(x) = sin u → f’(x) = u’ cos u
b. f(x) = cos u → f’(x) = - u’ sin u
GARIS SINGGUNG PADA KURVA
- Gradien garis singgung
| ||||
| ||||

Apabila garis ABdiputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A (h→0) maka tali busur ABmenjadi garis singgung (g) pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a))dengan gradient




![]() |
Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a)) atau A (x1,y1) adalah
![]() |
y – y1 = m (x – x1)
![]() |
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
![]() | |||
![]() | |||
|

dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :
x2 > x1
f(x2) > f(x1) (gb. 1)

2. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :
x2 > x1
f(x2) < f(x1) (gb. 2)

3. Fungsi f disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f’ (a) > 0
4. Fungsi f disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’ (a) < 0
NILAI STASIONER
![]() | |||
| |||
Jenis – jenis nilai stasioner
|
|



|


|
x > a diperoleh f’(x) < a
Fungsi yang mempunyai sifat demikian dikatakan fungsi f(x) mempunyai nilai
stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik maksimum.
2. Nilai stasioner di titik B dan D.
|
|
|

|





|
|
|


![]() |
fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik (d,f(d))
disebut titik belok
Pada titik B atau D sering hanya disingkat nilai stasioner belok.
3. Nilai stasioner di titik E

|
|
|


x = e diperoleh f’(x) = 0

|
![]() |
Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(e) pada x = e dan titik (e,f(e))
disebut titik balik minimum.
MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI
Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) ada beberapa langkah sebagai berikut :
- Tentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu x ( jika mudah ditentukan ), yaitu diperoleh dari y = 0.
- Tentukan titik potong dengan sumbu y, yaitu diperoleh dari x = 0.
- tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya.
- tentukan nilai-nilai y untuk nilai x besar positif dan untuk x yang besar negative.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar